LES FONCTIONS
1ère partie : Rappels de mathématiques générales
A ) Les équations du premier et du second degré
1. Résolution :
a ) Les équations du premier degré : elles se présentent sous la forme
y = ax + b
avec x et y les inconnues, a et b les coefficients
Pour résoudre l’équation, il faut remplacer x et y par des valeurs arbitraires ( souvent 0 ) et de déterminer la valeur de x pour y = 0 puis de y quand x = 0.
Exemple : y = 3x +2
Pour y = 0 : alors 3x + 2 = 0 et 3x = - 2 d’où x = - 2 / 3
Pour x = 0 : alors y = 3 * 0 + 2 d’où y = 2
➢ Les systèmes d’équation du premier degré à deux inconnues ou plus
y = ax + b ax + by = c
ou
y = a1x + b1 a’x + b’ = c’
Il existe plusieurs possibilités de résolution selon la forme du système.
Pour la première :
➢ La méthode additive : il s’agit de trouver un coefficient multiplicateur de l’une des équations qui égalise a et a1 tel que a * coefficient = a1. Ce coefficient prendra le signe inverse de celui de a1 si les signes de a et a1 sont identiques.
➢ La méthode de substitution : il s’agit de remplacer dans la seconde équation y par sa valeur en fonction de x. Le système se transforme en une équation du premier degré et se résout comme telle. Si y est doté d’un coefficient il faudra en tenir compte en divisant l'équation par celui-ci avant d’opérer la substitution.
Pour résoudre un système à n inconnues, il faut autant d’équations qu’il y a d’inconnues.
Pour la seconde forme, la résolution matricielle s’impose.
Les six coefficients vont permettre la création de trois matrices carrées :
a b
δ = = ab’ – a’b
a’ b ‘
c b
δx = = cb’ – c’b
c’ b’
a c
δy = = ac’ – a’c
a’ c’
Le système se résout à l'aide de trois matrices carrées qui reprennent les coefficients a, b et c du système .
Ils sont placés dans le même ordre que dans le système. Le déterminant δ = (a * b’ ) - ( a’ * b ). Le déterminant δx = ( c * b’ ) - ( c’ * b ) et celui de δy = ( a * c’ ) - ( a’ * c ) sont ensuite calculés.
Pour retrouver x et y, il suffit de faire le rapport x = δx / δ et y = δy / δ
b ) Les équations du second degré : elles se présentent sous la forme
y = ax² + bx + c
Pour résoudre ce type d’équation, il faut qu’ y = 0 et passer par un calcul intermédiaire celui du discriminant :
Δ = b² - 4ac
si Δ > 0 l’équation a deux solutions ( la parabole coupe l’axe Ox en deux points ) , si Δ = 0 il y a une solution unique ( la parabole est tangente à l’axe Ox en un point ) et si Δ < 0 il n’y a pas de solution ( la parabole ne coupe pas l’axe Ox ) dans R .
Les solutions sont x = ( - b ± ) / 2 a ou x = - b / 2a si Δ = 0
2. Représentation graphique :
➢ Les fonctions du premier degré :
Il s’agit de représenter dans un repère orthonormé les fonctions affines des droites. Le coefficient a est aussi appelé pente de la droite ou coefficient directeur car il détermine l’angle de celle-ci dans un système d’axes orthonormés . Son signe indique l’orientation avec - de haut vers le bas et + de bas en haut car la dérivé est ƒ ’(x) = a . Le point d’intersection de deux ou plusieurs droites est celui qui égalise les équations. Le coefficient b est l’ordonnée à l’origine car ƒ( 0 ) = b. La fonction est linéaire si b = 0 car ƒ (x) passe alors par l’origine du repère ( droite bleue ).
Deux droites sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs est égal à moins un.
L’étude d’une fonction affine passe par la construction d’un tableau de variation à trois ligne et deux colonnes.
x - ∞ + ∞
ƒ ‘ ( x ) +
ƒ ( x ) +∞
-∞
Dans ce tableau on remarque bien que c’est la dérivée et donc le coefficient a qui définit de sens de variation de la droite.
Une fonction affine peut aussi être par morceaux c’est à dire être constituée de segments de droite ou demi-droites non parallèles à Ox.
Les fonctions en escalier sont elles toujours parallèles à Ox mais définies sur des intervalles donc non définies en certains points .
➢ Les fonctions du second degré
Résolution de l'équation ax² + bx + c = 0
a b c degré Δ x1 x2 x0
2 3 1 2 1 deux racines distinctes -0,5000 -1,0000
-1 2 -1 2 0 une racine double 1,0000
3 2 11 2 -128 pas de racine
0 1 7 1 -7
0 0 2 0 pas de solution
0 0 0 −∞ c'est une identité
La fonction du second degré prend la valeur de ax2 à l’infini et varie donc dans cet intervalle ( si a > 0, elle varie de + ∞ à + ∞ , si a < 0 de − ∞ à − ∞ ) . Elle s’annule et change de sens lorsque sa dérivée est nulle [ ƒ ’ (x) = 2ax + b = 0 ] .
x
- ∞ + ∞
ƒ ’ (x) - 0 +
ƒ (x) + ∞ + ∞
0 0
Le tableau de variation permet de visualiser l’allure de la courbe avec x qui prend les valeurs des racines qui correspondent à 0 pour ƒ(x) et la valeur qui annule la dérivée pour l’extremum. Celui ci doit être complété par le calcul de ƒ (x) pour cette valeur de x puis figurer dans le tableau.
Le tableau présenté est celui qui correspond à un directeur , a de x², positif. Pour un coefficient négatif les calculs sont identiques mais les signes dans ƒ ’ (x) sont inversés et la flèche dans ƒ (x) part de - ∞ vers l’extremum puis redescend vers - ∞ .
2ème partie : Les fonctions
1 ) Période et parités
2 ) Les sens de variation
Sur un intervalle donné I, soit x1 et x2 quelconques :
➢ La fonction est croissante si : x1< x2 ==> f ( x1) ≤ f ( x2 )
➢ La fonction est strictement croissante si : x1< x2 ==> f ( x1) < f ( x2 )
➢ La fonction est décroissante si : x1< x2 ==> f ( x1) ≥ f ( x2 )
➢ La fonction est strictement décroissante si : x1< x2 ==> f ( x1) > f ( x2 )
➢ La fonction croissante ou décroissante sur I est monotone sur I
3 ) Les limites ( voir chapitre sur les Suites )
Pour caractériser le comportement d’une fonction f au voisinage d’un point a ∈ R, on peut introduire les suites ( xn) avec xn ∈ Df \ {a} qui convergent vers a et étudier les suites correspondantes des valeurs de la fonction ( f ( xn )). Dans le cas où a ∈ D, le problème est de savoir comment f (a) est approché par les valeurs de la fonction au voisinage de a. On en déduit le concept de la limite d’une fonction.
Définition :
x0 ∈ D , f admet une limite en x0, si =
f g f +g
l l’ l + l’
+ ∞ l’ + ∞
l + ∞ + ∞
+ ∞ + ∞ + ∞
- ∞ - ∞ - ∞
+ ∞ - ∞ indéterminée
f g f * g
l l’ l * l’
l ∉0 ∞ ∞
∞ l’ ∉0 ∞
∞ 0 indéterminée
0 ∞ indéterminée
∞ ∞ ∞
f g f / g
l l’ ∉0 l / l’
l ∞ 0
l ∉0 0 ∞
∞ l’ ∞
∞ ∞ indéterminée
0 0 indéterminée
Les formes indéterminées des tableaux sont à compléter par « l ∞ », « 0 0 » et « ∞ 0 »
Rappel :
1 ) Cas ou x →x0
- Tout polynôme P(x) tend vers la valeur P (x0)
- Toute fraction rationnelle tend vers la valeur si Q(x0) ≠ 0
- Toute racine d’une fraction rationnelle tend vers la valeur si R(x0) > 0
2 ) Cas ou x → ∞ ( application pour ±∞ )
- Pour x infini , le polynôme P a même limite que son terme de plus haut degré donc la limite d’un polynôme en ± ∞ est la limite de son terme de plus haut degré ( ex : f(x) = ax2 + bx + c admet lim = ax² )
- Pour x infini , la fraction Q a même limite que le rapport ses termes de plus haut degré. Donc la limite d’une fonction rationnelle en ± ∞ est la limite du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur ( ex : f ( x ) = ax2 + bx + c / a’x + b’ admet lim = ax² / a’x = ax / a’ )
Théorèmes de majoration et d’encadrement :
Si, pour tout x ∈[ a ; b [, ( b ∈ R ou b = + ∞ )
➢ u ( x ) ≤ f ( x ) et = + ∞, alors = + ∞
➢ u ( x ) ≥ f ( x ) et = - ∞, alors = - ∞
➢ u ( x ) ≤ f ( x ) ≤ v ( x ) et = = l ∈ R, alors = l
= ∞
= b
= ax + b
Asymptote parallèle à ( Oy )
y
0 x
Asymptote parallèle à ( Ox )
y
0 x
Asymptote oblique
y
0 x
- (ax + b) = 0
4 ) La continuité
On définit la notion fondamentale de continuité d’une fonction :
Soit f : Df → R une fonction et soit a ∈ Df tel que a soit point d’accumulation de Df\ {a}. Alors f est continue en a si sa valeur de f en a existe et vaut f ( a ) c’est à dire si = f ( a )
La fonction f définie dans un voisinage de x0 est dite continue pour x = x0 si f ( x ) → f ( x0 ) quand x →x0
On dit qu’une fonction est continue dans un intervalle ]a , b [ si elle est continue en tout point x0 de ce segment c ‘est à dire si = f ( x0 )
On dit qu’une fonction est continue à gauche ( ou à droite ) f ( x ) → f ( x0 ) quand x →(x0 – h) lorsque h →0
Sur un segment [ a, b ] une fonction f est continue si elle est continue à droite de a, à gauche de b et continue sur l’intervalle ] a , b [
Pour les fonctions usuelles :
➢ tout polynôme P(x) est continu pour toute valeur de x
➢ toute fraction rationnelle F(x) est continue pour toute valeur de x n’annulant pas le dénominateur
➢ toute racine d’une fraction rationnelle F (x) est continue pour x = x0 si F (x0) > 0
➢ les fonctions sinus et cosinus sont continues pour toute valeur de la variable x
➢ les fonctions tangente et cotangente sont continues dans leur ensemble de définition
Les opérations sur les fonctions continues :
➢ la somme de fonctions continues est continue : f (x) + g (x) → f (x0) + g (x0)
➢ le produit de fonctions continues est continu : f (x) * g (x) → f (x0) * g (x0)
➢ toute combinaison linéaire fonctions continues est continue : hf (x) + kg (x) → hf (x0) + kg (x0)
➢ le quotient de fonctions continues est continu : f (x) / g (x) → f (x0) / g (x0) si g (x0) ≠ 0
➢ la racine n ième de fonctions continues est continue : → si f (x0) > 0
5 ) La dérivabilité :
Définition : une fonction f définie sur un voisinage V de x0 est dite dérivable en x0 , si et seulement si , le rapport tend vers une limite A quand h → 0
A est un réel constant appelé nombre dérivé ou dérivée de la fonction f en x0 ( noté f ’(x )) et h une variable telle que x0 + h ∈ V ( h est l’accroissement x1 – x0 )
Si f est dérivable en x0, la courbe représentative de f admet en x0 une tangente d’équation :
y = f’(x0) * ( x – x0 ) + f ( x0 )
Par identification avec l’équation d’une droite y = ax + b , on retient f’ (x0) comme le coefficient directeur de la droite tangente au point x0
La notation différentielle de la dérivée est f ’ (x0 ) =
Si f est dérivable en tout point de I , on définit la fonction dérivée : x → f ’ (x) =
Dérivée Différentielle
Somme ( f + g ) ‘ d ( f + g ) = df + dg
Linéarité Pour tout λ réel , ( λf ) ‘ = λf’ d ( λ f ) = λ df
Produit ( f * g ) ‘ d ( f * g ) = g * df + f * dg
Quotient ( f / g ) ‘ =
d ( f/g ) =
Fonction composée ( g ° f ) ‘ = ( g’ ° f ) * f’ d( g ° f ) = ( g’ ° f ) * df
Sens de variations :
➢ si f ’ ≥ 0, f est croissante un intervalle I
➢ si f ’ > 0, f est strictement croissante sur I
➢ si f ’ ≤ 0, f est décroissante sur I
➢ si f ’ < 0, f est strictement décroissante sur I
➢ si f ’ = 0, f est constante sur I
3ème partie : Intégrale et Primitives
1 ) Primitives :
On dit qu’une fonction F (x) est primitive de la fonction f (x) si F (x) admet pour dérivée f (x) .Toute fonction continue dans un intervalle admet au moins une primitive dans cet intervalle :
F (x) primitive de f (x) F’ (x) = f (x)
Toute primitive de f (x) est de la forme F (x) + C ( C = constante arbitraire non déterminée )
Tableau des primitives usuelles :
Fonctions Primitives Fonctions Primitives
a = constante
x
xn ( n ∉–1 )
x-2 ( x ∉ 0 )
x -½ ( x > 0 )
x ½ ( ou )
u’ + v’
au’
-
ax + C
+ C
+ C
+ C
2 + C
2/3 x + C
u + v + C
au + C
+ C
sin x
cos x
sin ( ax + b )
cos ( ax + b )
( x ≠ π/2 + kπ )
( x ≠ kπ )
ex ( exponentielle puissance x )
ax
- cos x + C
sin x + C
- cos ( ax + b ) + C
sin ( ax + b ) + C
tg x + C
- cotg x + C
ex + C
( ax / ln a ) + C
La notation différentielle : une primitive quelconque F (x) + C d’une fonction f (x) est aussi notée qui se lit : somme de f (x) dx ( intégrale indéfinie ) .
Théorème fondamental :
Soit f une fonction continue sur [ a ; b ] et x0 ∈ ( a ; b ]
La fonction F : x → f ( t ) dt est une primitive de f sur [ a ; b ]
C’est la primitive de f sur [ a ; b ] qui s’annule en x0 . Toute fonction continue sur [ a ; b ] admet des primitives sur [ a ; b ]
La notation est la suivante :
La détermination d’une primitive :
➢ dans les tableaux des primitives usuelles
➢ en linéarisant les fonctions trigonométriques ( changement de variable )
➢ en décomposant les fractions rationnelles en éléments simples
2 ) Intégrale :
On appelle intégrale de Riemann de la fonction monotone f sur le segment [ a ; b ], et on note la borne supérieure de l’ensemble des intégrales sur [ a ; b ] des fonctions en escalier minorant f car [ ≤ ( b – a ) f (b) ] .
f(b)
f(xi)
f(xi-1)
f(a)
0 a x1 x2 xi-1 xi xn-1 b
La somme de Reimann ou intégrale de Reimann représente la somme des aires des rectangles hachurés
Règles d’intégration :
R1 : = +
R2 : = c * avec c∈ R ( c est une constante )
R3 : ≤ si f (x) ≤ g (x) pour tout x ∈ [ a ; b ] ( monotonie )
R4 : = + pour a ≤ c ≤ b ( additivité )
R5 : m ( b – a ) ≤ ≤ M ( b – a ) ou m est un minorant et M un majorant de f ( [ a ; b ])
R6 : ≤
Méthodes d’intégration :
U1 : = +
U2 : = c *
U3 : = f (x)
U4 : = + = f (x) * g (x)
On en tire la règle dite d’intégration par partie : = [ f (x) * g (x)] -
Exemple : Trouver les primitives sur ] 0, + ∞ [ de x → ln x
Il est possible de décomposer ln x = 1 . ln x
puis de poser u (x) = ln x avec u’ (x) = et v’ (x) = 1 avec v (x) = x
et ainsi = x ln x - = x lnx -
La solution est
= x ln x – x + k
où k est une constante arbitraire
Théorème d’intégration des séries :
Si la série des fonctions R-intégrables fn : [ a ; b ] → R converge uniformément alors
=
4ème partie : Les fonctions Logarithme et Exponentielle
1 ) Logarithme
Définition : On désigne par ln x la primitive de ( x > 0 ) qui s’annule pour x = 1 . Cette primitive existe car la fonction est continue pour x > 0 : Alors
ln x = , x > 0
y
1 ln x
0 1 x x
L’aire comprise entre la courbe C, l’axe des x et les parallèles à Oy menées par les points d’abscisses 1 et x est égale à la primitive de qui s’annule pour x = 1 c’est à dire ln x
Dérivée et continuité de ln x :
Comme ln x est une primitive de , inversement est la dérivée de ln x :
y = ln x ==> y’ =
La fonction y = ln x est continue puisqu’elle admet une dérivée.
Les opérations :
ln ab = ln a + ln b
ln a/b = ln a – ln b
ln 1/c = - ln c
ln an = n ln a
ln a p/n = ln a
ln = ln a
Etude de la fonction y = ln x :
➢ La fonction existe pour tout x > 0 alors l’axe Oy est asymptote d’où D = R*+
➢ Sens de variation : la dérivée y’ = étant positive, la fonction ln est croissante
➢ Limites :
Théorème I : ln x tend vers + ∞ quand x tend vers + ∞
Théorème II : ln x tend vers - ∞ quand x tend vers 0+
Théorème III : Le rapport tend vers 0 quand x tend vers + ∞
Théorème IV : Le rapport tend vers 1 quand x tend vers 0
➢ Tableau de variation
x 0 1 + ∞
ƒ ‘ ( x ) +
ƒ ( x ) +∞
0
-∞
➢ Le nombre e
La fonction y = ln x passe une fois et une seule par la valeur y = 1 qui correspond à la valeur x = e = 2.71828 . Ainsi ln e = 1 et pour tout rationnel r
∀ r ∈Q , ln er = r ln e = r
➢ Représentation graphique
1
1 e
0
Les dérivées logarithmiques
Fonction Dérivée Notation différentielle
y = ln I u I
y = uv
y = un
y =
y’ = ( avec u ≠ 0 )
y’ = u’v + uv’ ==> =
= n
= = -
y’ =
y’ = v.du + u.dv
y’ = n
y’ =
Les logarithmes décimaux
On appelle logarithme décimal du nombre positif x le nombre noté log x ( ou log 10 x ) tel que l’on ait :
log x = M * ln x ( avec M = = 0.43439 )
log 10 = 1
Les opérations des ln sont strictement applicables aux log.
2 ) Exponentielle de base e
Etude de la fonction y = exp x :
➢ La fonction existe pour tout x d’où D = R ( fonction réciproque de ln )
➢ Sens de variation : la dérivée y’ = exp x * ln e = exp x étant positive, la fonction exp est croissante
➢ Limites :
ex = 0 alors 0x est asymptote
x * ex = 0
= 1
ex = + ∞ et ex / x = + ∞ il existe donc une branche parabolique de direction (Oy)
Croissance comparée logarithme et exponentielle
Pour tout a > 0 = 0 et = + ∞
➢ Tableau de variation
x - ∞ 0 + ∞
ƒ ‘ ( x ) +
ƒ ( x ) +∞
1
0
➢ Représentation graphique
1
0
Annexe 1 : La fonction linéaire tangente
Soit une fonction f différentiable en xo. On appelle fonction linéaire tangente ou différentielle en xo l’application, notée df et définie par :
df(h) = f ’ (xo)h
y
dy
xo xo + dx x
Si on considère la fonction tangente définie par y = x , on pose h = dx alors on peut poser dy = d fxo alors dy = f ’ (xo) dx et on tire alors la valeur de la dérivée
f ‘ (xo) =
Exemple :
Calculer une valeur approchée de ( 2.001 ) 3
Solution :
On pose y = x3 en notant que x0 = 2 et h = dx = 0.001
L’accroissement de y noté Δ y ( x + dx ) 3 = 3x² dx + 3x (dx)² + (dx)3
La dérivée de la fonction est y’ = 3x² , en notation différentielle dy = 3x² . dx
Alors Δy – dy = 3x (dx)² + (dx ) 3
Application numérique : x1 = 2 et x2 = 2.001
y1 = x13 = ( 2 ) 3 = 8
dy = 3 * 2² * 0.001 = 0.012
y2 = y1 + dy = 8 + 0.012 = 8.012
Tableau des différentielles les plus courantes :
Fonction Différentielle Fonction Différentielle
y = C
y = x
y = xn
y = ax + b
y = ax² + bx + c
y = ( x ≠ 0 )
y = ( x > 0 )
y = sin x
y = cos x
y = tan x
( x ≠ + k π )
y = cotg x ( x ≠k π )
dy = 0
dy = dx
dy = nx n-1 . dx
dy = a .dx
dy = ( 2ax + b ) . dx
y = -
dy =
dy = cos x . dx
dy = - sinx .dx
dy =
x en radians
dy = -
y = u + v
y = u . v
y =
y = C . u
y = un
y = ( u ≠ 0 )
y = ( u > 0 )
y = sin u
y = cos u
y = tan u
( u ≠ + k π )
dy = du + dv
dy = u .dv + v .du
dy =
dy = C . du
dy = n .u n-1. du
y = -
dy =
dy = cos u . du
dy = - sinu .du
dy =
Annexe 2 : Méthode de calcul des primitives
1 ) Le changement de variable
Rappel sur les dérivées :
Dérivée Différentielle
Somme ( f + g ) ‘ d ( f + g ) = df + dg
Linéarité Pour tout λ réel , ( λf ) ‘ = λf’ d ( λ f ) = λ df
Produit ( f * g ) ‘ d ( f * g ) = g * df + f * dg
Quotient ( f / g ) ‘ =
d ( f/g ) =
Fonction composée ( g ° f ) ‘ = ( g’ ° f ) * f’ d( g ° f ) = ( g’ ° f ) * df
Ce type de détermination est basé sur la dérivation d’une fonction composée :
( F ° G ) ‘ (x) = F ‘ ( G (x) ) . G ‘ (x)
Il faut déterminer F et G telles que la fonction à intégrer s’écrive : f (x) = F ‘ ( G (x) ) . G ‘ (x)
Cette fonction f (x) , la dérivée, admet une primitive ( F ° G ) =
telle que = F ‘ ( G (x) ) . G ‘ (x) . dx = F ( G (b) ) – F ( G (a))
Le changement de variable s’effectuera en posant G (x) = y alors F ‘ ( G (x) ) = F ‘ (y)
Exemple : Trouver les primitives sur ] 0, +∞ [ de x →
Il faut tout d’abord préciser que f (x) n’est pas défini pour x = 1 donc D = ] 0, 1[ ∪ ]1 , +∞ [
En décomposant = * on remarque que est la dérivée de ln x
Il faut poser G (x) = ln x et G ‘ (x) =
Puis F ‘ (y) = et donc F (y) = ln IyI ( voir dérivée logarithmique )
On détermine alors F ( G (x) ) = ln I ln x I a pour dérivée
La solution est
. dx = ln I ln x I + k1 sur ], 1[ et . dx = ln I ln x I +k2 sur ]1 , +∞ [
avec k1 et k2 des constantes arbitraires
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