MATHEMATIQUES FINANCIERES 2006-2007

Bibliographie :

PONCET, PORTAIT et HAYAT : « Mathématiques financières : Evaluation des actifs et analyses des risques » édition DALLOZ collection Précis et gestion.

Chapitre 1 : Les intérêts simples et leurs applications.


Les intérêts simples, concernent essentiellement les opérations dont la duré est au plus égale à un an. Comme par exemple les calculs des soldes de débiteurs.

Section I : Les intérêts simples.

L’intérêt est le prix à payer par un emprunteur à un prêteur en contre partie de la disponibilité d’un capital pendant une période déterminée. La rémunération du prêteur est expliquée par trois variables :
- Le capital prêté.
- La durée.
- Le taux d’intérêt généralement exprimé en %.

Exemple : Soit un capital de 10 mille € placé pendant 5 mois au taux de 12%. Les intérêts obtenus au bout de 5 mois se calculent :
1O mille * (5/12) * (12/ 100).

Remarque : le taux est généralement un taux annuel, c’est pour cette raison que la durée doit être exprimée en année ou en fraction d’année. Autrement dit il faut toujours vérifier la cohérence entre la périodicité et la durée.

Formule générale.
C= capital prêter ou emprunter exprimé en €, t = taux d’intérêt, n = durée du prêt ou du placement, I= l’intérêt.

I = C* t * n

La durée peut être exprimée en jour en mois en trimestre en année en quinzaine…

Lorsque la durée est exprimée en jours :

I = C * t * (n / 360)

Exemple : Quel est l’intérêt d’un capital de 50 mille € placé pendant 144 jour au taux de 7, 5%.
Le taux est toujours un taux annuel sauf indication contraire.

I = 50 milles * 0,075 * (144/360)= 1500€

Au lieu de nous donner le jour on peut nous donner les dates extrêmes.
Quel est l’intérêt d’un capital de 50 mille € placé entre le 17 septembre et le 29 décembre au taux de 7, 5%.
Il faut appliquer une règle très simple :
- Il convient de calculer les mois pour le nombre de jours réels appelé aussi civil.
- On exclut la première date et on inclut la dernière.



Mois Nombre de jours civils Nombres de jours pour notre exemple
Septembre 30 13
Octobre 31 31
Novembre 30 30
Décembre 31 29
Total 103

I = 50 mille * 0, 075 * (103/360) = 1072,1.

Remarque : Pour une entreprise, il est essentielle il essentielle de maitriser ce type de décompte pour être capable de vérifier les calculs d’escompte et d’intérêts présenter par les banques. Les banques distinguent les jours calendaires et les jours de valeurs.
La date de valeurs d’une opération financière est différente de la date réelle de l’opération. La date de l’opération financière est celle dont le banquier tien compte pour le calcul des intérêts des escompte ou des agios. En France la règle est la suivante : les opérations de crédits ont une date de valeur postérieure à la date réelle de l’opération. Concernant les opérations de débits, ces opérations ont une date de valeurs antérieure à la date de valeur réelle.

Lorsque la durée est exprimée en mois.

Dans ce cas la formule générale est la suivante :

I = C * t * (n/12)

Exemple : On nous demande de calculer l’intérêt d’un capitale de 60 mille€ placé pendant 8 mois au taux annuel de 9%.

I = 60 mille * 0, 09 * (8/12) = 3600 €

Lorsque la durée est exprimée en trimestre.

Dans ce cas la formule générale est la suivante :

I = C * t * (n/4)

Exemple : Calculer l’intérêt d’un capital de 100 mille € placé pendant 10 trimestre au taux annuel de 10%.

I = 100 mille * 0, 01 * (10/4) = 25 000€

Lorsque la durée est exprimée en semestre.

Dans ce cas la formule est la suivante :

I = C * t * (n/2)

Exemple : un capital de 500 mille € placé pendant 5 semestre au taux annuel de 10%.
I = 500 mille € * 10 * (5/2) = 125 mille €
Remarque : Dans ce cas, la somme qui doit être remboursée est de 625 mille €.

Lorsque la durée est exprimée en année.

Dans ce cas la formule est la suivante :

I = C * t * n

Exemple : une capital de 1 million € pendant 4 ans au taux annuel de 12%.

I = 1 million * 0, 12 * 4 = 480 mille €.

Remarque sur le taux d’intérêt : il peut être exprimée en taux trimestriel, mensuel, semestriel, ou encore journalier. Le passage d’un taux annuel à un taux autre qu’annuel s’effectue par application de la proportionnalité des taux en intérêts simples. Exemple si le taux annuel est de 9%, le taux semestriel sera de 4, 5%, le
Taux annuel Taux semestriel Taux trimestriel Taux mensuel Taux journalier
9% 4, 5% 2, 25% 0, 75% 0, 025%

Remarque : un capital placé à intérêt simple dans l’un des conditions vues au-dessus générera les mêmes intérêts et aura la même valeur acquise.
La valeur acquise correspond à la somme du capital initial majoré des intérêts de ce capital généré après un certain nombre de placement.

Capital généré après un certain placement :
Cn = C + I
I = C * n * t
Cn = C + C * n * t
Cn = C (1 + n*t)


On peu être amené à rechercher soit le taux soit le capital initial, la recherche du taux, la recherche de la durée.

Exemple :

La valeur acquise : quelle est la valeur acquise pour un capital de 50 000€ au taux de 8% placé au bout de 8 ans.

C3 = 50 000+50000* 3* 8%
C3 = 62 000€

La recherche du taux : quel est le taux annuel d’un capital de 200 000€ placé pendant 72 jours à ce taux donne une valeur acquise de 203 400€.
203 400 = 200 000 * (1+ (72/360)* t)
« t »= 8, 5%

La recherche de la durée : pendant combien de temps faut- il placé un capital de 75000€ au taux annuel de 10% pour obtenir une valeur acquise de 78 000€.

78 000 = 75 000 (1 + n/360 * 0, 10)
« n » = 144 jours.

La recherche du capital initial : quel est le capital qui placé pendant 125 jours à 6% donne une valeur acquise de 153 125€.

153 125 = C (1+0, 006 * (125/360)
C = 150 000€

Remarque le dernier exemple permet de déterminer la valeur actuelle. En effet connaissant un capital à une échéance donnée, il est possible de calculer la valeur actuelle de ce capital. Cela revient à déterminer le capital initial qui permet de disposer au bout de « n » jour du capital Cn.

Section 2 : L’application des intérêts simples.

L’escompte.

Lorsqu’une entreprise envoie une facture à un client, elle peut proposer un délai de règlement. La matérialisation de la créance détenue sur le client, se fait en premier lieu par la facture mais généralement elle est renforcée par la création d’une traite appelé aussi effet de commerce, il s’agit d’un papier commercial qui contient un certain nombre de mentions :
1- Le nominal de l’effet.
2- L’échéance de l’effet.
3- Le bénéficiaire ou le tiré.
4- Le souscripteur ou le tireur.
5- La domiciliation bancaire ou postale.

§1 : Distinction entre le billet à ordre et la lettre de change.

Le billet à ordre est crée à l’origine par le client, qu’on appelle le souscripteur au profit du vendeur, qu’on appelle le bénéficiaire.
La lettre de change est créée par le vendeur appelé le tireur qui envoie la traite à l’acheteur qu’on appelle le tiré pour acceptation. Ce dernier l’accepte et le renvoie au vendeur si les mentions indiquées sont conformes au contrat.
Dans tous les cas le vendeur est en possession d’un effet de commerce, trois solutions sont envisageables :
1- Il attend l’échéance de l’effet et la remet à l’encaissement auprès de sa banque, afin d’être créditer du nominal (moins les frais). Sous réserve que la traite ne revienne pas impayée.
2- Il endosse l’effet et s’en sert pour payer ses propres fournisseurs à conditions que ces derniers acceptent.
3- Il a besoin des fonds immédiatement ou du moins ne peut pas attendre l’échéance, il négocie, on dit aussi qu’il remet à l’escompte la traite. Dans ce cas, la banque versera le nominale de la traite diminuer de l’escompte et des frais divers.
Remarque : La banque n’assume pas le risque de crédit c'est-à-dire que si à l’échéance l’effet n’a pas payé par l’acheteur, la banque se retourne vers le bénéficiaire et redébite son compte du nominal majoré des frais d’impayé.



§2- Définition de l’escompte.

L’escompte commercial correspond à l’intérêt perçu par le banquier en contre partie du crédit accordé à l’entreprise entre la date de négociation et la date d’échéance de l’effet. Le calcul de l’escompte :
- Il y est au nominale de l’effet.
- A la durée de l’escompte c'est-à-dire le nombre de jour qui sépare la date des négociations et la date d’échéance.
- Et le taux d’escompte.

Remarque :
- Le calcul de l’escompte est fait sur le nominal de l’effet et non sur sa valeur actuelle.
- L’escompte ainsi que les commissions bancaires sont pré compté c'est-à-dire qu’ils sont prélevés par la banque dès le jour de négociation et non pas à terme échus.
- Le nombre de jours est calculé par rapport au jour calendaire majoré de jour dit de banques.
- Le taux d’escompte est lié au taux de base bancaire majoré de la marge de la banque. Ce taux d’escompte est fonction de la surface financière du client et de son encours.

Il est possible de distinguer la valeur actuelle théorique de la valeur nette commerciale. La valeur actuelle théorique de l’effet = valeur nominale diminuer de l’escompte.
Alors que la valeur nette commerciale intègre non seulement l’escompte mais aussi les commissions.

Valeur actuelle théorique :
Va = Vn – e (escompte)

Escompte :
« e » =Vn * t * (n/360)

Exemple :
Soit le montant du nominal est de 10 000 € échéance dans 50 jours, le taux d’escompte est de 14%.
« e » = 10000 * 0, 14 * (50/360) = 194,1…€
Vn = 10000 – 194, 1… = 9 805, 1...

Remarque : en réalité la banque va nous créditer à un montant inférieure parce qu’elle prélève des commissions diverses. Le bénéficiaire de l’effet reçoit la valeur nette commerciale. En effet, la banque perçoit en plus de l’escompte des commissions bancaires et des taxes. Parmi ses commission il y a les commissions d’endosses qui sont calculé sur la base du nominal prorata temporis. Les commissions d’endosses ne sont pas soumise à la TVA. Il y a aussi les commissions fixes par effet parfois exprimées en pourcentage du nominal avec un seuil plancher, c'est-à-dire une minimum de perception et un seuil plafond c'est-à-dire un maximum de perception, ces commissions sont soumises à la TVA. La TVA ne s’applique pas à l’escompte.



Exemple :
La banque de la Réunion nous communiques ses conditions d’escompte un effet nominale d’un montant de 10 000€ échéance dans 50 jours, le taux d’escompte est de 14% et commission d’endosse 1%, commissions d’encaissement 0, 3% avec un minimum de 12€ et un maximum de 50€, aussi une commission fixe par effet de 5€. Le taux de TVA est de 18, 6%. La TVA s’applique aux commissions d’encaissement et aux commissions fixes. Elle n’applique pas aux commissions d’endosse ni à l’escompte.
Calculer le net commercial. Et pour cela il faut calculer les agios.

Net commerciale = nominal – agios

Méthode pour cet exemple :

Débit Crédit Détails des calculs
Nominal 10 000
Escompte 194, 44 10 000*14%* (50 / 360)
Commission d’endosse 13, 89 10 000* 1% (50/360)
Commission d’encaissement 30, 00 10 000*0,3%
Total des agios HT 243, 33
TVA commission 6, 51 18, 6% * (30+5)
Total agios TTC 249, 94
Net commercial 9 750, 06


Le taux réel d’escompte.

Dans la mesure où l’escompte commerciale est basée sur le principe de l’intérêt précomptée il faut calculer le taux réel d’escompte qui est le taux qui est appliqué à la valeur nominale d’un effet procure au prorata du temps un effet égal à l’agio. Il semble logique de ne pas inclure la TVA dans la mesure où elle est ultérieurement récupérable par l’entreprise. On parle donc de taux réel d’escompte ou de taux d’agio hors taxe. Pour calculer le taux réel d’escompte on prend les chiffres hors taxe.

Exemple : Soit un effet de nominale de 200 mille € échéance 36 jours taux d’escompte est de 10%, les commissions bancaire sont de 140 € hors taxe. Les agios sont égaux à l’escompte + les commissions bancaires.
L’escompte = 200 mille * (36 / 360)* 0,10 = 2 000
Agios = 2000 + 140
Agios = 2 140€


Taux réel d’escompte :
« a » = Vn * tr* (n /360)



Exercice :
On nous demande de déterminer la valeur nette commerciale de l’effet suivant compte tenu la banque BNP.
Nominal de l’effet : 100 000€ négocié le 14 septembre.
Echéance le 31 décembre.
La banque compte 3 jours de banque.
Taux d’escompte = taux de base bancaire + 2 points.
Le taux de base bancaire au 14 septembre est de 9, 5%.
Les commissions d’endosses sont de 1, 2%.
Les commissions d’encaissement sont de 0, 55%, avec un minimum de 10€ et un maximum de 100€.
Commission fixe par effet de 8€.
- Déterminer la valeur nominale de l’effet.
- Déterminer le taux réel d’escompte.

Débit Crédit Détails des calculs
Nominal 100 000 100 000*11,5 % * (111/360)
Escompte 3545, 83
Commission d’endosse 370, 00 100 000*1, 2% * (111/360)
Commission d’encaissement 100, 00 100 000*0,55% > 100€
Commission fixe 8, 00
Total des agios 4 023, 83 18, 6% (100+8)
TVA sur commission 20, 09
Total agios TTC 4 043, 92
Net commercial 95 956, 08

Nombre de jours :
16 + 31 + 30 + 31 = 108
108 + 3 jour de banque = 111 jours

Taux d’escompte :
Tbb + 2 points = 9, 5% + 2%= 11, 5%

L’équivalence d’effet.

Deux effets de commerces sont équivalents à une date donnée si à cette date leurs valeurs actuelles sont égales.

Exemple :

E1 et E2
E1 = 10 000€ échéance 31/07/ N
E2 = 10 200 € échéance 30/09/N

- Quelle est à un taux de 12% la date d’équivalence des deux effets ?


E1 a = E1 – E1 * 0, 12* (n1/360)
E2 a = E2 – E2 * 0, 12* (n2/360)

E1 a = E2 a
E1 – E1 * 0, 12 * (n1/360) = E2 – E2 * 0, 12 * ((n1+61) / 360)
« n »1= 59 jours.

























Chapitre 2 : Les intérêts composés.

Un capital est placé intérêt composé lorsque la capitalisation c’est à dire les calculs des intérêts à la fin de chaque période s’effectue sur les base du capital augmenter des intérêts acquis au début de la période. De façon générale, l’application des taux composés est requise pour les opérations à plus d’1 an.

Exemple :
Soit un capital C0 de 10 000 € placer pendant 4 ans au taux annuel de 12%. La capitalisation ici est une capitalisation annuelle c'est-à-dire qu’a la fin de chaque année, les intérêt généré à la fin de chaque période sont porté au crédit de notre compte et seront porteurs des intérêts durant les périodes suivantes. Ainsi au bout d’un an,
C1 = C0 + C0 * 0, 12= C0 (1+ 0, 12) = 11 200€
C2= C1+ C2* 0, 12= C1 (1+ 0, 12) = 12 544 €
C3 = C2 + C2 * 0, 12 = C2 (1+ 0, 12) = 14 049 €
C4 = C3+ C3 * 0, 12 = C3 (1+0, 12) = 15735 €

La valeur acquise au bout de « n » placement :

Cn = C0 (1 + t) n

Ce calcule peut être effectué grâce à la table financière N° 1.

Remarque : Avec les intérêts composés on peut effectuer des opérations de capitalisation c'est-à-dire la recherche de la valeur acquise et des opérations d’actualisation, c'est-à-dire la recherche de la valeur actuelle d’une valeur future. Le passage d’une valeur actuelle à valeur future qui s’appelle une capitalisation alors que la transformation d’une valeur futur en valeur actuelle s’appelle une actualisation.


CAPITALISATION




ACTUALISATION
C0 = Cn (1 + t) –n 0

Exemple :
Nous disposons d’un capital initial de 50 000€ placé pendant 5 ans au taux de 10%.
Quelle est la valeur acquise ?
Pour trouver la valeur acquise ici on va utiliser la formule :
C5 = C0 (1+t)5 = 50 000 (1+ 0, 10)5 = 80 525, 5

Au bout de combien de temps un capital initial de 50 000€ placé au taux de 8% on nous obtenir 73 466, 40€ ?
Cn = C0 (1+t)n

Cn / C0 = (1+t) n

Un capital de 100 000€ placé pendant 4 ans à une valeur acquise 141 158, 20€. Quel est le taux de placement ?

Le taux est de 9%

Un capital C0 placé pendant 8 ans au taux de 9, 5% permet de disposer à échéance de 20 668, 69€.
Quelle est sa valeur actuelle ?

Sa valeur actuelle de C0 est de 10 000€.

Jusqu'à présent nous avons effectué des opérations sur des années entières. Or les placements peuvent s’effectuer sur des périodes de capitalisation mensuelle, semestrielle…

§ 1- La notion de taux équivalente

Un taux équivalent tp correspondant à une période p fois plus petite que l’année est équivalent taux annuel ta si pour un capital placé la valeur acquise au terme de la p énième période = à celle obtenu avec ta au bout d’une année.

Soit un capital de 100000€ placer pendant 1 an. Soit la banque A nous propose un taux de 12% et la valeur acquise au bout d’un an est de 112 000 €. Et la banque B nous propose une capitalisation mensuelle, quel est le taux tn mensuelle permettant d’obtenir la même valeur acquise que celle de la banque A ?

C12 = C0 (1+ tm) 12 = 112 000
C1 = C0 (1+ta) 1 = 112 000

tm= (1+tn) 1/12 – 1

C0 (1+tm)12 = C0 (1+ ta) 1
(1+ tm)12= (1+ta) 1
(1+tm) = (1+ta) 1/12

Capitalisation trimestrielle :

C4 = C0 (1 + tt) 4 tt = f (ta)
C1 = C0 (1 + ta) 1 C0 (1 + tt) 4 = C0 (1 + ta)
(1 + tt) 4 = (1 + ta)
(1 + tt) = (1 + ta) 1/4
tt = (1 + ta) 1/4- 1
De même pour la capitalisation semestrielle, on a ts = (1+ ta) ½ - 1

De même pour la capitalisation journalière, on a tj = (1+ ta) 1/360 - 1

§2- Les taux proportionnels.

Le taux proportionnel est le taux relatif à une période p * plus petite que l’année qui est égale à un taux annuelle ta / p soit le taux proportionnel = au taux annuel. Par exemple si le taux annuel est de 12% le taux semestriel est de 12% / 2 donc de 6%, le taux proportionnel trimestriel est de 12% / 4 donc de 3%, le taux journalier sera donc 12% / 360.
Tp = ta/p
Remarque : dans la pratique financière, le taux proportionnel est le plus souvent utilisé.

On nous demande de calculé la valeur acquise par un capital de 20 000 e placé au taux annuel de 15% pendant 4 ans.
Utilisé successivement les taux proportionnel et le taux équivalent dans les cas suivant :
- Capitalisation mensuelle.
- Capitalisation trimestrielle.

Taux proportionnel Taux équivalent
1- Capitalisation mensuelle
t = 15% / 12 = 1, 25%
4 ans = 48 mois
Cn = C0 (1 + t) 48
Cn= 20 000 (1+ 0, 0825)48 = 36 307, 0…
2- Capitalisation trimestriel
t = 15% / 4 = 3, 75%
4 ans = 16 trimestres
Cn = 20 000 (1 + 0, 0375)16 = 360 441

1- pour une même subdivision de période, le taux proportionnel est toujours supérieur au taux équivalent à intérêt composé.
2- Quelque soit le taux équivalent utilisé, on trouve la même valeur acquise.
3- Plus la capitalisation est fréquente avec un taux proportionnel plus les intérêts sont élevés.
Si sauf indication contraire c’est le taux proportionnel qui est utilisé.

§ 3- Le cas où la durée est un nombre fractionnaire.

Exemple :
On place 100 000€ pendant 4 ans et 9 mois le taux est de 8%, on nous demande de calculer la valeur acquise par ce capitale au bout de 4 ans et 9 mois.
- La première solution est appelée solution commerciale, on détermine la valeur acquise par l’utilisation de la formule exclusivement.
- La deuxième solution c’est la solution rationnelle. Cette solution consiste à n’appliquer la formule des intérêts composés qu’à la partie entière des périodes et a valorisée la partie fractionnaire à l’aide des intérêts simple.

Il est possible d’utilisé la table des matières n°1 puis N°6.
C4, 75 = 100 000 (1+ 0,08) 4, 75 = 114 132, 0…. €
C4, 75= 100 000 (1+ 0,08) 4 (1+ 0,08) 9/12

Il s’agit d’un résultat approximatif

C4 = C0 (1 + t) = (1 + 0,08) 4 = 136 048, 896

Si C0 est le capital initial
Si n est la durée
Si e est la partie entière
Si f est la partie fractionnaire
Donc n = e + f

Solution commerciale :
Cn = Ce+f = C0 (1+t)e+f

Solution rationnelle :
Cn = Ce+f = C0 (1+t)e* (1+ ft).

Le cas où il faut recourir à l’interpolation linéaire. Pour résoudre un certain nombre de problèmes, on privilégie l’utilisation des tables financières. Néanmoins ces tables financières n’offre des valeurs que pour les durée entière ou certain taux d’intérêt. D’où la nécessité de recourir à des techniques d’approximation.

Soit un capital initial de 200 000€ à une valeur acquise de 400 000€ au bout de 10. Trouver le taux de rémunération de ce placement.

1ère solution, la solution algébrique :

Cn = C0 (1+t) n d’où (Cn/C) = (1+t)n.

(400 000/ 200 000) = (1+t) 10 = 2
(1+t) = 2 1/10
« t » = 2 1/10 – 1
« t » = 7, 177%





















Chapitre 3 : Les annuités et les emprunts individuels.

Les annuités en définition représentent une suite de versements effectués à intervalle de temps régulier. Cet intervalle peut être l’année, le semestre, le trimestre, le mois… De nombreux problèmes financiers sont résolus grâce aux annuités. Comme par exemple la constitution d’un capital part le versement d’annuité constante progressive ou quelconque à intervalle régulier. Il peut s’agir de capitalisation dans le cas d’un plan épargne logement ou d’un plan épargne retraite. Le remboursement d’un capital emprunté par versement d’annuité constante progressive ou dégressive. Chaque annuité, ici, comprend une partie appelé amortissement qui réduit la dette ou le capital restant due et une partie appelé intérêt qui rémunère le prêteur.

Section 1- Les annuités.

§1- les annuités constantes.

On appelle annuité constante un ensemble de versement de valeur égale effectué à intervalle régulier. Il est possible de déterminer la valeur acquise d’une suite d’annuité de valeur constante.
La valeur acquise d’une suite d’annuité constante désigne la somme des valeurs acquises de chacun des versements calculé à la date du dernier versement. Autrement dit, chaque versement est capitalisé jusqu’à la date du dernier versement.

Remarque: « a »1= a 2=…= an-1= an = a
A1 a2 a3 ak a n-1 an

0 1 2 3 k n-1 n Axe du temps


A
« a » (1+t)1

« a » (1+t)n-k



« a » (1+t)n-3

« a » (1+t)n-2
« a » (1+t)n-1



Valeur acquise :
Vn= a (((1+t)n – 1)/t)



Exemple :

☺Soit une suite de versement annuel de 15 000€ pendant 5 ans au taux de 8%. Quelle est sa valeur acquise ?

Vn= (((15 000 (1+ 0,08)5 – 1) / 0, 08) = 15 000* 5,866 601= 87 999
Table financière N°3 n = 5 et t = 8%

☺Quel est le nombre d’annuité (n entier) qui, à 11% pour un versement de 15 000€ est nécessaire pour obtenir une valeur acquise de 250 830, 13€ ?

Vn= a (((1+t)n – 1)/t)
Vn/a = (((1+t)n – 1)/t)
250 830, 13 / 15 000 = (((1+t)n – 1)/t)
16, 722 009 → 10 ans
Table financière N°3

☺A quel taux doit- on capitaliser une suite de 10 annuité constante de 10 000€ chacune pour avoir une valeur acquise de 159 374, 25 ?
Vn= a (((1+t)n – 1)/t)
Vn/a = (((1+t) nt – 1)/t)
(159 374, 25 / 10 000) = (((1+t)10 – 1)/t) = 15, 937 425
« t » = 10%

Remarque : dans le cas de versement non annuel, par exemple trimestriel, mensuel, semestriel… Les taux utilisé seront soit proportionnels soit équivalent. Le contrat de prêt où les modalités du plan d’épargne spécifient le type de taux utilisé. De façon générale ce taux est toujours fonction de la périodicité de l’annuité, néanmoins le taux proportionnel est toujours utilisé.

INTERPOLATION LINEAIRE :

7 %< t < 7, 25%
1, 967 151 < 2 < 2, 013 599

« c » = a + (b- a) (((f(c) – f(a))/ (f(b) – f (a))
“f” (c) = f(a) + (f(b) – f(a)) ((c- a) / (b – a))

La valeur actuelle d’une suite d’annuité constante est égale à la somme des valeurs actuelles de chacune des annuités calculées une période avant le versement.










A1 a2 a3 ak a n-1 an

0 1 2 3 k n-1 n Axe du temps


« a » (1+t) -n
A (1+t)-(n-1)

« a » (1+t)-k



« a » (1+t)-3

« a » (1+t)-2

« a » (1+t)-1
Valeur actuelle :
V0= a (1- (1+t) –n)/t

Il existe un cas particulier où il est possible d’utiliser la table financière N°2

Un particulier verse 15 000€ pendant 5 ans sur un compte rémunérer de 8%. Au bout des 5 ans il obtient 87 999, 01€ on nous demande de déterminer la valeur actuelle dans ce cas.

V0= Vn (1+t) –n = 87 999, 01 (1 + 0, 08) –5 = 59 899, 0

§2- Les annuités variables.

Dans la pratique financière, les annuités sont le plus souvent constantes. Mais il existe des cas spécifique dans le domaine des assurances, de l’immobilier, où on utilise des annuités en progression arithmétique ou en progression géométrique.

1- Les annuités en progression arithmétique.

Les progressions arithmétiques sont une suite de nombre tel que chacun d’eux s’obtient en ajoutant au précédent un nombre constant appelé raison arithmétique.

Exemple : on nous demande la valeur acquise :
1ère année : 10 000€
2ème année : 12 500€
3ème année : 15 000€
4ème année : 17 500€
5ème année : 20 000€

Vn = (a1 + (r/t)) * (((1+t)n – 1)/ t) – ((n*r) / t)

Au taux de 10%
Avec a1 = 1er terme de la suite, r = raison, t = taux d’intérêt et n = le nombre de versement.
V5= (10 000+ (2 500/ 0, 10) * (((1+ 0, 10)5 – 1)/ 0, 10) – ((5* 2 500) / 0, 10)
V5 = 88 678, 50€

2- Les annuités variables en progression géométrique.

Une progression géométrique est une suite de nombre tel que chacun d’eux s’obtient en multipliant le précédent par un nombre constant appelé raison géométrique.

Exemple : dans le cadre d’un plan épargne retraite d’un duré »e de 8 ans, un particulier place 10 000€ la 1ère année puis d’une année sur l’autre, il majore son versement de 10%. Le taux d’intérêt minimal garantit est de 6%. Quelle est la valeur acquise minimale par cette suite de versement.
Vn = a1 * ((qn – (1+t)n)/ (q – (1+t))
V0 = (a1 / (1+t)n) * ((qn – (1+t)n) / (q – (1+t))

Si l’annuité n’est ni constante ni variable en progression arithmétique ou géométrique. Alors il faut actualiser ou capitaliser chaque versement et faire la somme. Pour cela on peut utiliser la table financière N°1 pour la capitalisation et la table financière N°2 pour l’actualisation.

Section 2- Les emprunts indivis.

§1- Le principe des emprunts indivis

Emprunt indivis on désigne par ce terme un emprunt qui ne comprend qu’un seul prêteur. L’emprunteur est engagé à payer à intervalle régulier une annuité, une semestrialité, une trimestrialité ou une mensualité. Ce versement est composé :
1- De l’amortissement financier qui réduit le capital restant dû.
2- Des intérêts qui sont généralement décroissants avec le temps.
Lorsque les annuités sont dégressives, il s’agit souvent d’un emprunt remboursable par amortissement constant.

Exemple :
Une entreprise qui emprunte 500 000€ remboursable par annuité constante sur 4 ans au taux d’intérêt de 12%.

Au taux de 12%, il y a équivalence entre les 500 000€ à la date 0 et les 4 annuités constante « a »

0 1 2 3 4

-a -a -a -a -a AXE DU TEMPS

E = a 1- (1+t) – 4
« t »
« a » = E * t
1 – (1+t)


Il possible d’établir le tableau d’amortissement financier de l’emprunt :

Rang de l’annuité Capital restant dû Montant des intérêts par application du taux d’intérêt appliqué sur le capital restant dû La fraction du capital remboursé au titre d’une annuité. On parle d’amortissement Reprend l’annuité constante et permet de vérifier les intérêts et les amortissements financiers
1 Capital restant dû = capital emprunté
2
3
4
Total


Capital restant dû Intérêts amortissements Annuité
1 500 000 1 60 000 2 104 617, 20 3 164 617, 20 4
2 395 382, 86 5 47 445, 93 6 117 171, 27 7 164 617, 20
3 278 211, 51 33 385, 82 131 231, 82 164 617, 20
4 146 979, 65 17 637, 56 146 979, 95 164 617, 20
Total 158 468, 80 9 500 000 8 658 468, 80

La chronologie pour construire le tableau est la suivante :

1- E est le montant emprunté
2- I1 se sont les intérêts de la 1ère année, I1 = E * t
3- « m1 » c’est l’amortissement financier de la 1ère année m1 = a – I1
4- Annuité constate : a
5- Capital restant dû au début de la 2ème année : D1 = E – m1
6- I2, les intérêts de la 2ème année, I2 = D1 * t
7- « m2 » c’est l’amortissement financier de la 2ème année, m2 = a – I
8- 500 000 = m1 + m2 + m3 + m4
9- Σ Ij = Σ aj – Σ mj

D1 est le capital restant dû après le versement de la 1ère annuité. Donc on peut écrire Dj est la dette vivant après la j n annuités.

La 1ère propriété est une relation les amortissements, on sait que m2 / m1 = (1+t) →
m2= (1+t) * m1
« m »3= m2* (1+t) = m1 * (1+t)²
« m »n = m1 * (1+t)n-1

La 2ème propriété est entre le capitale emprunter et l’amortissement financier, la somme du capital emprunter = à la somme de l’amortissement financier : E = m1 + m2 +m3….+ mn
E = m1+ m1 (1+t) + m1 (1+t)2…+ m1 (1+t)n-&
= M1 [1+ (1+t) + (1+t)2+ … + (1+t) n-1]

E = m1* (1+t)n – 1
« t »
« m »1 = E * t

(1+t)n- 1

3ème propriété c’est la relation entre le capital restant dû et les amortissements, on sait que
D1= E – m1
D2 = D1 – m2 = E – n-1- n2

On démontre que le capital restant dû après la piéme annuité noté Dp = E* (1+t)n – (1+t)p

(1+t)n – 1

Le capital remboursé appelé la piéme annuité noté Rp = E * (1+t)p – 1
(1+t)n – 1

§2- les différentes modalités de remboursement d’un emprunt.

Parmi ces modalités il y a les amortissements annuels constants et le rembourse in fine sans report des intérêts des intérêts. Aussi au lieu de parler d’annuité on peut parler d’un remboursement avec des semestrialités, trimestrialité constante. Dans ce cas il faut passer au taux annuel ou semestriel ou trimestriel ou mensuel en passant par les taux proportionnel.

Exemple :
Une société souhaite emprunter une somme de 1 200 000€ au taux de 12%. La banque propose les modalités de remboursement suivant :
1- Annuité constante.
2- Trimestrialité constante.
3- Amortissement annuel constant. Dans ce cas, l’amortissement financier est contant et = à E/ n

4- Remboursement in fine sans report d’intérêt.

Annuité constante.

Capital Intérêts Amortissements Annuités
1 1 200 000
2
3
4
Total





Trimestrialité constante.

Capital Intérêts Amortissements Annuités
1 1 200 000
2
3
4
Total

Amortissement annuel constant.

Capital Intérêts Amortissements Annuités
1 1 200 000 144 000 300 000 444 000
2 900 000 108 000 300 000 408 000
3 600 000 72 000 300 000 372 000
4 300 000 36 000 300 000 336 000
Total 360 000 1 200 000 1 560 000

Remboursement infiné sans report d’intérêt.

Capital Intérêts Amortissements Annuités
1 1 200 000 144 000 0 144 000
2 1 200 000 144 000 0 144 000
3 1 200 000 144 000 0 144 000
4 1 200 000 144 000 1 200 000 1 344 000
Total 576 000 1 200 000 1 776 000

Dans le cas du remboursement annuel contant. Le remboursement peut se faire aussi par remboursement trimestriel, mensuel, semestriel.
Si le remboursement est in fine il n’ya pas de remboursement du capital emprunter avant la dernière échéance, mais il y paiement des intérêts à chaque fin d’année.




































PARTIE II CHOIX D INVESTISSEMENT ET DE FINANCEMENT




























PARTIE I LES CALCULS FINANCIERS
CHAPITRE I : Les modes de financement.

SECTION 1 : Les choix de financement.

1- Définition.

L’investissement s’applique aussi bien à l’acte d’investir qu’au résultat de cet acte, c'est-à-dire le bien qui fait l’objet de l’investissement. Il existe 3 définitions de l’investissement :
- Définition comptable : l’investissement est synonyme d’immobilisation, selon le plan comptable il s’agit de tout bien meuble ou immeuble, corporel ou incorporel acquis ou crée par l’entreprise destiné à rester durablement sous la même forme dans l’entreprise.
- Définition économique : investir est synonyme de tout sacrifice de ressources fait aujourd’hui dans l’espoir d’obtenir dans le futur des résultats étalés dans le temps d’un montant total supérieur au montant initial

Remarques dans ces définitions comme d’ailleurs dans la définition comptable, nous retrouvons un certain nombre de notions essentielles
- définition financière : l’investissement est un ensemble de dépense qui sur une période longue générera des recettes dont le montant total permettra de couvrir les dépenses initiales.

En résumé on peut dire que l’investissement est l’acquisition de biens durable, matériel ou immatériel par une entreprise.

2- A quoi sert l’investissement (objet ou but).

- La création de potentiel productif : en effet lors de la naissance de l’entreprise, les investissement de création permettent d’acquérir des locaux, du matériel… il s’agit de pouvoir produire les manques.
- Le maintient du potentiel productif : cela permet de continuer à produire ou à vendre. Comparaison l’acquisition d’un matériel neuf pour remplacer à l’identique un équipement ancien ou usé. L’investissement de modernisation appelé aussi investissement de productivité permet de produire ou de vendre mieux, exemple l’acquisition d’un équipement neuf pour remplacer un équipement obsolète.
- Investissement de capacité permet de produire et de vendre plus grâce à une augmentation qualitative ou quantitative de la capacité de production.

On peut classer l’investissement selon son but : de création, de remplacement ou de modernisation et d’expansion.

3- Les différentes formes d’investissement.

L’investissement est une opération par laquelle une entreprise ajoute des biens de productions c'est-à-dire des flux positifs de biens à un stock capital de bien existant. Les capitalistes nationaux utilisent le terme FBCF la formation brute de capital. Ce stock de capital se trouve lui-même avec le temps. Cette perte de valeur de capital est prise en compte par l’amortissement. L’investissement brut – l’amortissement = amortissement net. On utilise un indicateur pour mesurer le dynamisme d’une économie taux d’investissement = investissement / somme des valeurs ajoutées. Le taux d’investissement conditionne la compétitivité.
La chute de l’investissement est synonyme de baisse de croissance économique.
- Les investissement financier et investissement productifs : en terme d’investissement, la croissance de l’entreprise peut se réaliser de 2 manières soit par investissement financier soit par investissement productifs. L’investissement financier permet une croissance externe par une fusion absorption par une prise de participation. Après cette opération, la capacité totale de l’entreprise est accrue au niveau microéconomique, en revanche, au niveau macroéconomique cela reste identique, voir même il peut être réduit sous l’effet de la restructuration. L’investissement productif se réalise par la mise en place de nouveaux matériels, de nouvelles usines qui augmentent effectivement la capacité de production de l’entreprise et de l’économie nationale. Ce type d’investissement agit sur le plan micro économique et sur le plan macro économique. Le choix entre l’une ou l’autre forme d’investissement varie selon la conjoncture économique et la stratégie diffère. Avec la mondialisation et l’accentuation de la concurrence internationale, les firmes ont opérés ces dernières années de vastes mouvements de restructurations financières au détriment des stratégies purement productives.
- Les investissements immatériels : les économistes reconnaissent aujourd’hui le caractère économique d’investissement à certains critères immatériels. Ces investissements recouvrent généralement l’achat de brevet et de licences, de formation professionnelles, les activités de mercatique et de logiciels… il s’agit de dépenses qui conditionnent la compétitivité de l’entreprise et de l’économie nationale. Depuis une vingtaine d’année, la part de ces investissements dans l’investissement total n’a cessé de progresser, elle représente près de la moitié de la FBCF. On peut dire que l’investissement immatériel est une charge permettant de dégager sur plusieurs exercices des recettes supplémentaires.
- Les investissements de productivité, de capacité et de renouvellement : selon que le marché est saturé et fortement concurrentiel ou au contraire en pleine expansion, l’entreprise optera pour un investissement de productivité (qui a pour objectif de rationaliser l’optique de production, la réduction des coûts par l’utilisation de matériels plus performants et la recherche d’une meilleure productivité dans un environnement très concurrentiel) ou pour un investissement de capacité qui a pour objectif l’accroissement des capacités de production pour faire face à une demande anticipée accrue ;ce type d’investissement permet de répondre à une expansion du marché de l’entreprise. L’investissement de renouvellement sert à remplacer les matériaux usagés.

4- Les déterminants de l’investissement.

- En investissant, l’entreprise est amenée à engager des capitaux importants dans une opération qui s’effectue nécessairement dans un environnement incertain. Actuellement l’environnement est particulièrement fluctueux. Cet investissement dépend de plusieurs facteurs : les perspectives d’avenir favorables portant sur l’évolution économique générale, en particulier sur les prévisions en matière de croissance et d’évolution de la demande, en d’autres termes l’entreprise ne prendra la décision d’investir que si les débouchés existent pour écouler sa production.
- Un taux d’utilisation des capacités de production élevés. Pour une hausse de la demande soit un facteur d’investissement, il faut que l’entreprise puisse la satisfaire avec les biens d’équipement déjà en place. Il n’y aura investissement que si le taux de capacité de production est élevé.
- un taux d’intérêt faible : ce n’est pas un facteur déterminant ; c’est un facteur favorable car il encourage l’investissement productif en rendant le remboursement par emprunt peu coûteux et surtout en n’incitant pas l’entreprise à placer ses capitaux sur le marché financier.
- un taux de profit suffisant : la recherche du profit est un objectif permanent de l’entreprise, de ce fait, une insuffisance de profit anticipée est un frein à l’investissement productif, en résumé on peut dire que la décision d’investir est une décision risquée qui dépend essentiellement des profit anticipés et des perspectives économiques.

SECTION 2 : Les modes de financement.

Lorsqu’un investissement est décidé, le financier doit déterminer les besoins de financement qui résultent de cette décision, il doit aussi choisir les moyens de financement que l’entreprise va pouvoir utiliser. L’entreprise peut financer ses investissements grâce aux fonds propres qu’il a générés dans son activité = auto financement ou alors grâce aux fonds propres qu’elle se procure par augmentation de capitaux. On parle dans ce cas de financement par fond propre.

§I le financement des investissements par fonds propres.

A) L’autofinancement.

C’est une source de capitaux que l’entreprise se crée et entretient elle-même par son activité propre indépendamment du recours aux associés ou à des emprunts. Pour recourir à l’auto financement l’entreprise doit préalablement avoir constitué des réserves, c'est-à-dire des bénéfices non distribués, les amortissements et les provisions pour risques de non paiement d’une dette. La capacité d’autofinancement est appelée marge brut d’autofinancement appelé en anglais cash flow. La marge brut d’autofinancement= amortissement + provisions + résultat net. L’autofinancement = marge brut d’autofinancement – les dividendes. L’autofinancement permet la réalisation d’un investissement au moyen des ressources propres de l’entreprise.
Les avantages
- les avantages de l’autofinancement : cela donne à l’entreprise une grande liberté d’action car l’entreprise n’a pas à subir le contrôle de créanciers sur sa gestion, on dit que l’entreprise maintient son indépendance.
- L’autofinancement laisse intact la capacité d’emprunt de l’entreprise, c’est d’ailleurs l’une des conditions préalables à l’emprunt, en effet les établissements de crédits n’accordent de crédit que si l’entreprise finance au moins 30% sur fonds propres de l’investissement pour un emprunt.
- L’autofinancement peut être considéré à tort comme un moyen de financement gratuit, car l’entreprise ne verse pas d’intérêts sur les fonds utilisés.
- L’autofinancement est encouragé par les pouvoirs publics grâce aux avantages fiscaux.

Les limites de ce mode de financement :
- l’autofinancement est souvent insuffisant pour réaliser le projet.
- L’apparente gratuité de ce mode de financement peut entraîner des investissements dont la rentabilité est insuffisante.
- Le recours à l’autofinancement diminue les bénéfices distribués et risque alors de conduire les associés à se désintéresser de l’entreprise ce qui rendra difficile tout orientation de capital ultérieur.

En résumé on peut dire qu’en recourant à l’autofinancement, l’entreprise garantie son indépendance et conserve sa capacité d’emprunt. Pour les PME, l’autofinancement est souvent le seul moyen de se développer.

B- L’augmentation de capital.

Pour renforcer leurs fonds propres les entreprises peuvent faire appel aux actionnaires actuels ou faire appel à de nouveaux actionnaires. On procède dans ce cas à ce qu’on appelle une augmentation de capital qui consiste à émettre de nouvelles actions ou de nouvelles parts sociales. L’augmentation du capital peut prendre différentes formes :
- en numéraire : l’entreprise dans ce cas vend des actions nouvellement crées.
- En nature : dans ce cas, l’entreprise émet des actions nouvelles en contrepartie de biens matériels ou immatériels (ex : matériel : un immeuble ; immatériel : des brevets).
- Par paiement de dividendes en actions : dans ce cas, les actionnaires acceptent de recevoir des actions à la place du dividende qui devrait leur être versé.

Dans les PME le capital est le plus souvent réparti entre un petit nombre d’actionnaire généralement membre d’une même famille. Ces associés sont parfois réticents à mettre de l’argent dans l’entreprise, mais malgré ces réticences ils souscrivent une augmentation du capital pour éviter d’ouvrir le capital à des étrangers qui pourraient prendre le contrôle de l’entreprise. Si l’entreprise n’est pas côté en bourse elle peut profiter de cette augmentation de capital pour s’introduire au second marché ou au nouveau marché.
Concernant les entreprises côté bourse : l’importance des fonds collectés dépendent :
- La politique dividende de la société. En effet, plus l’entreprise versera de dividendes, plus les actionnaires seront prêt souscrire à une augmentation de capital.
- La conjoncture économique, par exemple plus les taux d’intérêts sont faibles, plus le public est intéressé par des actions et inversement. Aussi en période de marasme boursier, où lorsque le cours de l’action a baissé, il est difficile de trouver des souscripteurs. Lorsque l’on veut augmenter le capital il faut choisir le bon moment sinon c’est le fiasco.
- L’image ce l’entreprise, plus l’entreprise à une bonne image, plus elle n’aura pas de problème pour trouver des souscripteurs.

Les avantages :
- L’augmentation du capital renforce les fonds propres et les capacités d’endettements de l’entreprise augmentent aussi.
- L’entreprise ne doit pas rembourser les fonds collectés. Ces fonds sont rémunérés facultativement en fonction des bénéfices réalisés et surtout en fonction de la politique de dividende de l’entreprise.

Les limites :
- Les actionnaires actuels risque des perdre le contrôle de l’entreprise on parle alors de la dilution du capital.
- L’augmentation du capital peut être difficile à réaliser en particulier en période de conjoncture économique et financière et favorable.
- Un excès de capital peut diminuer le taux de rentabilité financière de l’entreprise.

En résumer on peut que l’augmentation du capital renforce les fonds propres de l’entreprise et lui permet de poursuivre son développement en toute indépendance.

§2- Le financement par ressource étrangère.

Les fonds propres sont en général insuffisants pour financer la totalité des investissements. L’entreprise doit donc recourir à des ressources étrangères. Les biens qui restent longtemps dans l’entreprise doivent être financé par des capitaux qui y resteront aussi longtemps. Donc ses ressources étrangères devront être empruntées à long ou moyen terme.

A- L’emprunt obligataire.

Les sociétés parts actions peuvent émettre des emprunts à long terme, divisés en parts égales représentées par des titres, côtés en bourse et négociable, ce sont des obligations.

Les avantages :
- Les fonds à long terme pouvant être levés sont considérables.
- L’entreprise conserve son indépendance de gestion. Parce que les obligataires sont des créanciers extérieurs à l’entreprise ce qui n’est pas le cas pour les actionnaires.
- Dès l’émission la société connaît exactement le montant et les dates de remboursement.
- Les remboursements sont des charges fiscalement déductibles.

Les limites :
- Les fonds collectés ne sont pas gratuits. En effet l’entreprise devra non seulement remboursé les sommes emprunter mais aussi versés les intérêts et les commissions bancaires.
- La capacité d’emprunt de l’entreprise diminue.
- Les formalités juridiques sont contraignantes.
- L’emprunt obligataire risque de ne pas être souscrit lorsque la conjoncture économique et financière n’est pas favorable.

En résumé on peut dire que l’emprunt obligataire est réservé aux très grandes entreprises parts actions.

B- Les emprunts à long et moyens terme.

Alors que l’emprunt obligataire fait appel à de très nombreux épargnants, les emprunts long et moyen terme met en relation le prêteur qui en général une banque ou un prêteur et l’entreprise. Les crédits à long terme ont une durée de 7 à 15 ans, il finance les investissements importants.
La durée du crédit est déterminée en fonction de la durée d’amortissement du bien financé. C’est en général un établissement financier qui accorde le prêt après examen du dossier l’entreprise et de prise de garantie : cautionnement des associés et de l’entreprise…. Ces entreprises sont spécialisées par secteur ou par type de besoin on peut parler de crédit agricole, national, de financement…

Les crédits à moyen terme sont utilisés pour financer les projet dont la duré de vie est au maximum de 5 ans.
C- Le crédit- bail.

Le crédit bail que l’on appel en anglais le leasing qui est une solution intermédiaire entre l’acquisition d’un matériel ou d’un immeuble et sa location. En fait il s’agit d’un contrat de location à durée déterminé d’un bien. Ce contrat peut se transformer à l’échéance en contrat de vente à la demande du locataire. De façon général ce contrat met en relation trois personnes : le client le fournisseur du bien et la société de crédit- bail. Le client, c'est-à-dire l’entreprise qui veut réaliser un investissement, choisit le matériel ou le bien et demande à la société de crédit- bail de mettre ce matériel ou ce bien à sa disposition. Alors le fournisseur reçoit la commande de la société de crédit- bail livre le matériel au client et facture le bien à la société de crédit- bail. La société de crédit- bail qui peut être une banque, achète le matériel ou le bien et le loue au client c'est-à-dire à l’entreprise. La durée du contrat correspond en général à la durée de vie du bien, c'est-à-dire la période d’amortissement fiscal. Le contrat précise le montant des loyers et la périodicité des versements. A l’expiration du contrat le client a le choix entre 3 solutions :
- La restitution du bien en question.
- L’achat du bien pour une valeur résiduelle prévue par le contrat, en général cette valeur varie entre 1 et 10% de la valeur d’origine du bien.
- Le renouvellement du bail avec un loyer beaucoup plus faible car le bien est déjà amortit.

Les avantages.
Le crédit- bail ne demande pas d’apport initial c'est-à-dire qu’il est possible d’avoir un financement à 100%.
Le crédit bail nécessite peu de formalité.
Le crédit- bail est considéré par les professionnels comme un procédé rapide et simple.
La capacité d’emprunt de l’entreprise est restée intacte car le bien en question appartient à la société de crédit- bail.
Les loyers sont des charges fiscalement déductibles.
L’entreprise dispose exactement du matériel de son choix, il s’agit le plus souvent d’un matériel spécialement conçu pour l’entreprise.
Il est possible pour l’entreprise d’acquérir le bien à la fin du contrat pour une somme modique. Ou bien de restituer le matériel pour bénéficier d’un autre matériel plus performant. C’est pour cette raison que le crédit bail est une garantit contre l’obsolescence.

Limites.
C’est un moyen de financement plus coûteux que le crédit à moyen terme.

En résumé on peut dire que le crédit- bail est intéressant pour financer des équipements dont l’évolution technologique est rapide.

§3- Comment choisir un moyen de financement.

Il faut se demander si l’entreprise peut intervenir seul à l’aide de ses fonds propres ou rechercher de l’aide extérieur. En fonction de sa situation propre c'est-à-dire en fonction de la capacité de l’entreprise à obtenir des crédits, à faire appel à l’épargne publique, en fonction des possibilités du marché, en fonction des opportunités qui lui sont offertes. En fonction de tout cela l’entreprise privilégie un ou plusieurs des critères suivants :
- Le coût, logiquement le moyen de financement le moins coûteux est recherché. En tenant compte du fait que l’auto- financement apparemment gratuit à en fait un coût qui est celui du manque à gagner des capitaux placés sur le marché financier.
- La sécurité, un endettement trop important peut mettre l’entreprise en situation de difficulté devant les échéances qui sera parfois difficile à rembourser.
- L’indépendance, certains moyens de financements peuvent à terme mettre en danger l’indépendance de l’entreprise. comme par exemple : la position dominante des banques, l’entrée dans le capital d’actionnaires puissants.
- L’efficacité, l’entreprise cherche à profiter de l’effet de levier si sa rentabilité économique est inférieure aux taux d’intérêts.

Section 3 : Le critère de choix et d’investissement.

Un investissement peut consister en une acquisition d’un bien matériel mais aussi d’un bien immatériel. La rentabilité d’un investissement est une question permanente dans l’entreprise. L’investisseur se doit de comparer le capital investit avec le capital net généré ou attendu par l’investissement. Cependant si pour les investissement financier ou lié à la production, la rentabilité peut être aisément appréhender, il n’en va pas de même pour les investissements d’amélioration des conditions de travail, de recherche et de développement et formation de personnel…
Un investissements est définit par :
- Son coût d’acquisition appelé aussi capital investit. Le coût d’acquisition est formé par le coût d’acquisition hors taxe majoré des frais annexes.
- Son coût d’entretient et de maintenance, on parle dans ce cas de charge d’exploitation.
- Sa durée de vie comptable, alors pour amortir comptablement un bien on dispose généralement de 2 systèmes d’amortissements : l’amortissement linéaire et dégressif.
- Son mode financement c'est-à-dire s’agit- il d’une acquisition par emprunt comptant crédit-bail, il va influencer le résultat et les flux net de trésorerie (cash flow) générer par le projet.

Il y a plusieurs définitions du flux de trésorerie ou capacité d’auto- financement :

CAF = c’est la somme des recette moins la somme des dépenses
Ou :
CAF = résultat net comptable + les dotations aux amortissements et provision.

Ne pas confondre dotation aux amortissements et amortissement :
Un amortissement de 50 000€ amortit sur 5 ans en amortissement linéaire.
50 000 = 10 000
1- 10 000€ est une dotation aux amortissements que l’on retrouvera au compte de résultat.
2- 10 000€ est une dotation aux amortissements que l’on retrouvera au compte de résultat.
3- 10 000€ est une dotation aux amortissements que l’on retrouvera au compte de résultat.
4- 10 000€ est une dotation aux amortissements que l’on retrouvera au compte de résultat.
5- 10 000€ est une dotation aux amortissements que l’on retrouvera au compte de résultat.
Le compte de résultat est un compte de flux, ainsi dans ce compte on retrouve les dotations aux amortissements.
Le compte de bilan est un compte de stock, ainsi dans ce compte on retrouve l’amortissement.

Dotation aux provisions signifie que l’entreprise face à un risque prévisible a le droit de mettre de côté de l’argent pour pourvoir faire face aux difficultés prévisibles.

Les dotations aux amortissements et aux provisions ce sont des charges calculés qui ne donnent pas lieu au décaissement ces dotations aux amortissements permettent de constater la dépréciation irréversible du matériel en fonction de sa durée d’amortissement prévisionnel.

§1- Les critères atemporel de choix d’investissements.

Parmi ces critères on peut citer :

- Le taux moyen de rentabilité, il s’agit d’un critère d’origine comptable mesurant le rapport entre le bénéfice annuel moyen procuré par un investissement et la dépense initiale.

Exemple : une entreprise dispose d’1 000 000€ et a le choix entre plusieurs investissements. Soit l’investissement A à la date initiale de l’investissement est égale à 1 000 000€ et cet investissement générera pendant 5 ans une capacité de financement annuel de 300 000€.


0 1 2 3 4 5

+ 300 000 +300 000 + 300 000 + 300 000 + 300 000
CAF 1 CAF 2 CAF 3 CAF 4 CAF 5


TMRa = somme des CAF/ l’investissement initiale


1 500 000/ 1 000 000 = 150%
Soit un investissement B la dépense initiale est toujours égale à 1 000 000€ cet investissement générera à chaque fin d’année les CAF suivantes :
1ère année : 200 000
2ème année : 300 000
3ème année : 500 000
4ème année : 300 000
5ème année : 300 000

TMRb = 1 600 000 / 1 000 000 = 160%

Cette méthode surestime la rentabilité de l’investissement parce qu’il donne la même valeur actuelle à l’euro actuel et à l’euro futur. Autrement dit cette méthode n’intègre pas la préférence pour le présent c'est-à-dire qu’un investisseur préfère la disponibilité immédiate d’une somme au lieu de la disponibilité futur de cette même somme. Pour intégrer cette préférence, il est nécessaire de recourir à l’actualisation.

- Le délai de récupération, ce critère s’apparente au point mort. Autrement dit à quel moment l’entreprise pourra- t- elle récupérer son investissement initial ?

Années CAF CAF cumulées
1 200 000 200 000
2 300 000 500 000
3 500 000 1 000 000
4 300 000 1 300 000
5 300 00 1 600 000

Le délai de récupération est de 3 c'est-à-dire que l’investissement aura été récupéré à la fin de la 3ème année.

§2- le critère temporel ou l’approche actuarielle.

Cette approche repose sur le principe que le prix du temps est intégrée dans le taux d’actualisation. L’étude de la rentabilité des investissements tient compte des flux nets de trésorerie répartie sur différentes périodes. Il est donc nécessaire de tenir compte du temps grâce à la notion d’actualisation.

Actualiser : consiste à donner grâce à un taux d’actualisation une valeur présente à des flux futurs de décaissement ou d’encaissement de manière à pouvoir comparer ces flux actualisés avec la dépense initiale. Se pose alors un autre problème celui de la fixation du taux d’actualisation :
- La première approche consiste à retenir le loyer de l’argent, ce taux est fonction du taux d’inflation, de l’évolution du pouvoir d’achat et éventuellement de la dépréciation ou de l’appréciation de la devise monétaire en faveur d’autres devises. En résumé l’attitude de l’investisseur est de préférer le présent au futur.
- La deuxième approche consiste à retenir comme taux d’actualisation le coût financier de l’investissement, qui est fonction du coût de financement du projet, de la rentabilité moyenne de l’entreprises, du taux de placement que l’entreprise pourrait escompter pour sa trésorerie disponible si elle n’effectuait pas son investissement. L’optique de l’investisseur ici est de comparer la rentabilité de l’investissement par rapport à un manque à gagner.

Chaque critère correspond à un objectif différent des autres.

- La Valeur Actualisée Nette, la VAN, est le résultat de la différence entre la somme de capacité d’auto financement et le montant de l’investissement initial. En fait la VAN correspond à l’excédent ou à l’insuffisance dégagée par les flux des capacités d’auto financement par rapport à l’investissement initial. Plus la VAN est élevée, plus l’investissement est rentable.

Exemple : une entreprise investie 1 000 000€ dans une campagne de publicité. L’entreprise escompte une augmentation de sa capacité d’autofinancement de 400 000€ par an pendant 3 ans. Cette entreprise retient comme taux d’actualisation, un taux de 8%, cet investissement est- il rentable ?
La VAN = -I0 + ∑ CAF actualise.

- Le taux interne de rentabilité, c’est le taux d’actualisation qui permet d’égaliser la somme des valeurs actuelles des capacités d’auto financement au coût de l’investissement. C’est le taux qui permet à l’entreprise de récupérer le capital investit. Le taux d’actualisation repose sur l’hypothèse que les capacités d’auto financement de l’entreprise sont réinvesties chaque année au taux d’actualisation. Plus le taux est élevé, plus les capacités d’autofinancement futures auront une valeur actuelle faible. Plus les investisseurs seront peut enclin à investir.

Exemple : L’investissement est de 1 000 000 et on espère dégager une capacité d’autofinancement de 400 000 € par an, pendant 3 ans. Quel est le taux interne de rentabilité ?

TIR = I0 = ∑CAF actualisés.

1 000 000 = 400 000 * (1- (1 +t) 3)/ t = 2,5 t = 9,7%

I0 = CAF * 1- (1 + t) - n
t
0= - I0 + ∑CAF actualisés.
On peut interpréter ce résultat de plusieurs manières :
- On peut dire que 9,7% est le taux qui annule la valeur actuelle nette.
- On peut dire que l’investissement reste rentable tant que le taux d’actualisation reste inférieur à 9,7%.

Dans la réalité le taux interne de rentabilité sert de taux d’acceptation ou de rejet d’un investissement. Pour cela l’entreprise fixe un taux minimum de rentabilité interne soit en fonction des coûts du capital soit en fonction de la rémunération obtenue sur les marchés de capital.

- Le délais de récupération du capital investit, plus ce délai est court, meilleur est l’investissement. Si l’entreprise privilégie l’investissement qui a le délai de récupération le plus courte, cela signifie peut être que tous ces projets contiennent un risque non négligeable. L’investisseur souhaitant récupérer sa mise de fond le plus vite possible.

Exemple : Soit une entreprise qui dégage une CAF de 400 000€ annuel le taux d’actualisation est de 8% et l’investissement est de 1 000 000€. Déterminez le temps de récupération.
I0 = ∑CAF actualisés.
1 000 000 = 400 000 * 1 – (1 + 0,08) -n
0,08
n = ? n = 3
Ce critère est choisit lorsque l’entreprise à une aversion pour les risques. Aversion c’est lorsque pour quelqu’un on augmente le risque de 1%, il va réclamer une augmentation de plus de 1% pour le risque.

- L’indice de profitabilité, correspond au rapport entre les capacités d’autofinancement actualisé et le capital investit. Si l’indice est supérieur à 100, l’investissement est acceptable. Plus l’indice est élevé plus l’investissement est intéressant.

Exemple : 1 000 000 d’investissement une capacité d’autofinancement de 400 000€ pendant 3 ans et le taux de rentabilité est de 8%. Déterminez l’indice de profitabilité.
Indice de profitabilité :
Ip = ∑ CAF actualisés
I0

Ip = 1 030 833 = 103, 08
1 000 000
Parfois on utilise le taux de profitabilité

Taux de profitabilité :
Tp = VAN
I0

Il n’est pas rare de constater que les critères choisis donnent des résultats divergeant. On parle dans ce cas d’incohérence de critère. Si on demande de trancher on utilise la VAN. C’est pour cette raison que les entreprise ou les investisseurs couple les critères et définissent les objectifs prioritaires de l’entreprise. S’agit- il de dégager la VAN la plus forte ou de minimiser l’engagement de l’entreprise c'est-à-dire le délai de récupération le plus courts.